刘徽发现的牟合方盖

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　　牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现的并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

　　《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。

　　其中廿四问为“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?开立圆术曰置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出，换言之球体体积=(9 x 直径^3)/16以现代的理解，这公式是错的，但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。

　　所谓“牟合方盖”是当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”

　　虽然本球体体积公式的出现比欧洲阿基米德的公式晚，但由方法以至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出，是一项杰出的成就。当中使用的“幂势既同，则积不容异。”即“等高处截面面积相等，则二立体的体积相等。”的定理，现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列利(Cavalieri)引用，称为卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri)，但事实上祖氏父子比他早一千年就发现并使用了这个原理，故又称“祖暅原理”。